Các em thân mến, câu rút gọn biểu thức chứa căn thường chỉ chiếm 2 điểm vào đề thi vào 10 của toàn bộ các tỉnh giấc thành trên cả nước. Trong bài viết này khối hệ thống giáo dục lostvulgaros.com sẽ hướng dẫn cách giải vấn đề "Rút gọn biểu thức chứa can bậc hai". Đây là tài liệu có lợi giúp các em học viên lớp 8 lên 9, để sẵn sàng kiến thức mang lại năm học tập lớp 9 cùng ôn thi vào 10 thật tốt. Kính mời quý phụ huynh, thầy cô và các em học viên cùng tham khảo !
Tải file PDF tại link: rut-gon-bieu-thuc-chua-can-bac-hai-tl310.html
I) LÝ THUYẾT- Để rút gọn các biểu thức chứa căn bắt buộc vận dụng tương thích các phép toán dễ dàng và đơn giản như: gửi thừa số ra ngoài dấu căn, vào trong lốt căn, trục căn thức sinh sống mẫu, sử dụng hằng đẳng thức nhằm phân tích thành nhân tử với tìm chủng loại thức chung ...
Bạn đang xem: Rút gọn biểu thức chứa căn toán 9
- Nếu việc chưa cho đk của $x$ thì ta cần được tìm điều kiện trước khi rút gọn.
- trong số đề thi Toán vào 10, sau khi rút gọn gàng biểu thức, ta thường gặp mặt các bài xích toán liên quan như:
+) Tính cực hiếm của A trên $x=x_0$
+) tra cứu $x$ để A > m; A II) BÀI TẬP
Bài 1: cho K = $2left( frac1sqrtx-1-frac1sqrtx ight):left( fracsqrtx+1x^2-x ight)$ (với $x>0;x e 1$)
a) Rút gọn gàng biểu thức K.b) tra cứu $x$ để K = $sqrt2012$Bài giải:
K = $2left( frac1sqrtx-1-frac1sqrtx ight):left( fracsqrtx+1x^2-x ight)=2left< fracsqrtx-sqrtx+1left( sqrtx-1 ight)sqrtx ight>:fracsqrtx+1xleft( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+1 ight)$
$=frac2sqrtx.left( sqrtx-1 ight):frac1xleft( sqrtx-1 ight)=2sqrtx$
b) Để K = $sqrt2012$ thì $2sqrtx=sqrt2012$$Leftrightarrow 2sqrtx=2sqrt503$
$Leftrightarrow x=503$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy $x=503$
Bài 2: cho hai biểu thức A = $frac4left( sqrtx+1 ight)25-x$ cùng B = $left( frac15-sqrtxx-25+frac2sqrtx+5 ight):fracsqrtx+1sqrtx-5$ với $xge 0;x e 25$
1) Tính giá trị của biểu thức A lúc $x=9$
2) Rút gọn gàng biểu thức B.
3) Tìm toàn bộ các quý giá nguyên của $x$ để biểu thức P=A.B đạt quý hiếm nguyên to nhất.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố hà thành năm học 2019 – 2020)
Bài giải:
1) cùng với $x=9$ ta có:
A = $frac4left( sqrt9+1 ight)25-9=frac4left( 3+1 ight)16=1$
Vậy cùng với $x=9$ thì giá trị của biểu thức A là: 1.
2) cùng với $xge 0;x e 25$ ta có:
B = $left( frac15-sqrtxx-25+frac2sqrtx+5 ight):fracsqrtx+1sqrtx-5=frac15-sqrtx+2left( sqrtx-5 ight)left( sqrtx-5 ight)left( sqrtx+5 ight):fracsqrtx+1sqrtx-5$
$=fracsqrtx+5left( sqrtx-5 ight)left( sqrtx+5 ight).fracsqrtx-5sqrtx+1=frac1sqrtx+1$
3) cùng với $xge 0;x e 25$ ta có:
P = A.B = $frac4left( sqrtx+1 ight)25-x.frac1sqrtx+1=frac425-x$
+) cùng với $25-x25$ thì p 0,,,,,,Leftrightarrow ,,,x 0
Để phường nhận giá chỉ trị lớn số 1 thì $25-x>0$ với $25-x$ dìm giá trị nhỏ dại nhất.
Mà: $x$ là số nguyên bắt buộc $25-x=1,,,,Leftrightarrow ,,x=24$
Vậy p nhận giá chỉ trị lớn nhất là: p. = $frac425-24=4$ lúc $x=24$
Bài 3: đến hai biểu thức A = $fracsqrtx+4sqrtx-1$ với B = $frac3sqrtx+1x+2sqrtx-3-frac2sqrtx+3$ với $xge 0;x e 1$.
1) Tính quý hiếm của biểu thức A khi $x=9$.
2) hội chứng minh: B = $frac1sqrtx-1$
3) Tìm tất cả các quý giá của $x$ để $fracABge fracx4+5$
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố hà nội thủ đô năm học tập 2018 – 2019)
Bài giải:
1) cùng với $x=9$(thỏa mãn đk của biểu thức A) ta có:
A = $fracsqrt9+4sqrt9-1=frac72$
Vậy với $x=9$ thì giá trị của biểu thức A là: $frac72$
2) với $xge 0;x e 1$, ta có:
B = $frac3sqrtx+1x+2sqrtx-3-frac2sqrtx+3=frac3sqrtx+1left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)-frac2sqrtx+3$
$=frac3sqrtx+1-2left( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)=fracsqrtx+3left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)=frac1sqrtx-1$
Vậy cùng với $xge 0;x e 1$ thì B = $frac1sqrtx-1$
3) với $xge 0;x e 1$, ta có:
$eginalign & fracABge fracx4+5,,,,,,,Leftrightarrow fracsqrtx+4sqrtx-1:frac1sqrtx-1ge fracx4+5 \ & Leftrightarrow sqrtx+4ge fracx4+5 \ & Leftrightarrow x-4sqrtx+4le 0 \ & Leftrightarrow left( sqrtx-2 ight)^2le 0 \ & Leftrightarrow sqrtx-2=0 \ endalign$
$Leftrightarrow x=4$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy $x=4$
Bài 4: cho hai biểu thức A = $fracsqrtx+2sqrtx-5$ và B = $frac3sqrtx+5+frac20-2sqrtxx-25$ cùng với $xge 0,x e 25$.
1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=9$
2) minh chứng B = $frac1sqrtx-5$
3) Tìm toàn bộ giá trị của $x$ nhằm $A=B.|x-4|$
(Đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố thủ đô năm học 2017 – 2018)
Bài giải:
1) với $x=9$ (thỏa mãn điều kiện khẳng định của biểu thức A) ta có:
A = $fracsqrt9+2sqrt9-5=-frac52$
Vậy với $x=9$ thì A = $-frac52$
2) với $xge 0,x e 25$ ta có:
B = $frac3sqrtx+5+frac20-2sqrtxx-25=frac3sqrtx+5+frac20-2sqrtxleft( sqrtx+5 ight)left( sqrtx-5 ight)$
$=frac3left( sqrtx-5 ight)+20-2sqrtxleft( sqrtx+5 ight)left( sqrtx-5 ight)=fracsqrtx+5left( sqrtx+5 ight)left( sqrtx-5 ight)=frac1sqrtx-5$
Vậy B = $frac1sqrtx-5$ (điều đề xuất chứng minh)
3) cùng với $xge 0,x e 25$ ta có:
$eginalign & A=B.|x-4|,,,,,Leftrightarrow fracsqrtx+2sqrtx-5=frac1sqrtx-5.|x-4| \ và Leftrightarrow sqrtx+2=|x-4| \ endalign$
Chú ý các dạng toán về quý giá tuyệt đối: Dạng 1: $|fleft( x ight)|=k$ trong những số ấy $fleft( x ight)$ là biểu thức chứa biến đổi $x$ , k là một số trong những cho trước. Phương pháp giải: Nếu k 0 thì $|fleft( x ight)|=k,,,Leftrightarrow left< eginalign và fleft( x ight)=k \ & fleft( x ight)=-k \ endalign ight.$ Dạng 2: $|fleft( x ight)|=|gleft( x ight)|$ Cách giải: $|fleft( x ight)|=|gleft( x ight)|,,,,,Leftrightarrow left< eginalign và fleft( x ight)=gleft( x ight) \ và fleft( x ight)=-gleft( x ight) \ endalign ight.$ Dạng 3: $|fleft( x ight)|=gleft( x ight)$ (1) Cách giải: +) nếu $fleft( x ight)ge 0$ thì (1) trở thành: $fleft( x ight)=gleft( x ight)$ Giải phương trình cùng kiểm tra điều kiện $fleft( x ight)ge 0$ +) ví như $fleft( x ight) |
+) với $x-4ge 0,,,,Leftrightarrow xge 4$ phương trình trở thành:
$eginarray*35l ext !!~!! ext và sqrtx+2=x-4 \ ext !!~!! ext và Leftrightarrow x-sqrtx-6=0 \ ext !!~!! ext và Leftrightarrow left( sqrtx+2 ight)left( sqrtx-3 ight)=0 \ ext !!~!! ext và \endarray$
$Leftrightarrow left< eginalign và sqrtx+2=0 \ và ext !!~!! ext sqrtx-3=0 \ endalign ight.Leftrightarrow left< eginarray*35l ext !!~!! ext & sqrtx=-2(KTM) \ ext !!~!! ext và sqrtx=3 \endarray ight.Leftrightarrow x=9(TM)$
+) cùng với $x-40;x e 4$.
1) Tính quý giá của biểu thức p khi $x=9$.
2) Rút gọn gàng biểu thức Q.
3) Tìm cực hiếm của $x$ để biểu thức $fracPQ$ đạt giá bán trị nhỏ tuổi nhất.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố hà nội thủ đô năm học năm ngoái – 2016)
Bài giải:
1) với $x=9$ (thỏa mãn điều kiện xác minh của P) ta có:
P = $frac9+3sqrt9-2=12$
Vậy với $x=9$ thì quý hiếm của biểu thức p là: 12.
2) cùng với $x>0;x e 4$ ta có:
Q = $fracsqrtx-1sqrtx+2+frac5sqrtx-2x-4=fracsqrtx-1sqrtx+2+frac5sqrtx-2left( sqrtx-2 ight)left( sqrtx+2 ight)=fracleft( sqrtx-1 ight)left( sqrtx-2 ight)+5sqrtx-2left( sqrtx-2 ight)left( sqrtx+2 ight)$
$=fracx+2sqrtxleft( sqrtx-2 ight)left( sqrtx+2 ight)=fracsqrtxleft( sqrtx+2 ight)left( sqrtx-2 ight)left( sqrtx+2 ight)=fracsqrtxsqrtx-2$
Vậy Q = $fracsqrtxsqrtx-2$
3) cùng với $x>0;x e 4$ ta có:
$fracPQ=fracx+3sqrtx-2:fracsqrtxsqrtx-2=fracx+3sqrtx=sqrtx+frac3sqrtx$
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
$sqrtx+frac3sqrtxge 2sqrtx.frac3sqrtx=2sqrt3$
Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi $sqrtx=frac3sqrtx,,,,Leftrightarrow x=3$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức $fracPQ$ là $2sqrt3$ lúc $x=3$
Bài 7: đến biểu thức A = $fracleft( sqrtx+1 ight)^2+left( sqrtx-1 ight)^2left( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+1 ight)-frac3sqrtx+1x-1$ cùng với $xge 0;,,,x e 1$.
a) Rút gọn gàng biểu thức A.b) kiếm tìm $x$ là số chủ yếu phương để $2019.A$ là số nguyên.(Đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 môn Toán, tỉnh thành phố bắc ninh năm học 2019 – 2020)
Bài giải:
a) cùng với $xge 0;,,,x e 1$ ta có:A = $fracleft( sqrtx+1 ight)^2+left( sqrtx-1 ight)^2left( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+1 ight)-frac3sqrtx+1x-1=fracx+2sqrtx+1+x-2sqrtx+1left( sqrtx+1 ight)left( sqrtx-1 ight)-frac3sqrtx+1left( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+1 ight)$
$=frac2x+2left( sqrtx+1 ight)left( sqrtx-1 ight)-frac3sqrtx+1left( sqrtx+1 ight)left( sqrtx-1 ight)=frac2x-3sqrtx+1left( sqrtx+1 ight)left( sqrtx-1 ight)=fracleft( 2sqrtx-1 ight)left( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+1 ight)left( sqrtx-1 ight)=frac2sqrtx-1sqrtx+1$
b) với $xge 0;,,,x e 1$ ta có:$2019.A=2019.frac2sqrtx-1sqrtx+1=2019.left( 2-frac3sqrtx+1 ight)=4038-frac6057sqrtx+1$
Vì $x$ là số bao gồm phương buộc phải $sqrtx+1$ là số trường đoản cú nhiên.
Để x$2019.A$ là số nguyên thì $frac6057sqrtx+1$ cũng là số nguyên.
Mà: $sqrtx+1$ là số tự nhiên nên $sqrtx+1in ext !!\!! ext 1;3;9;2019;6057$
Ta có bảng sau:
$sqrtx+1$ | 1 | 3 | 9 | 2019 | 6057 |
$x$ | 0 | 4 | 64 | $2018^2$ | $6056^2$ |
Vậy $xin ext !!\!! ext 0;4;64;2018^2;6056^2 ext !!\!! ext $
Bài 8: mang đến biểu thức p. = $frac3x+5sqrtx-4left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)-fracsqrtx+1sqrtx+3+fracsqrtx+3sqrtx-1$ cùng với $xge 0;x e 1$.
1) Rút gọn biểu thức P.
2) kiếm tìm $x$ sao cho P = $-frac12$
(Đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 môn Toán, tỉnh tỉnh thái bình năm học 2017 – 2018)
Bài giải:
1) với $xge 0;x e 1$ ta có:
P = $frac3x+5sqrtx-4left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)-fracsqrtx+1sqrtx+3+fracsqrtx+3sqrtx-1$
P = $frac3+5sqrtx-4left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)-fracleft( sqrtx+1 ight)left( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)+fracleft( sqrtx+3 ight)^2left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)$
P = $frac3x+5sqrtx-4-x+1+x+6sqrtx+9left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)$
P = $frac3x+11sqrtx+6left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)=fracleft( sqrtx+3 ight)left( 3sqrtx+2 ight)left( sqrtx+3 ight)left( sqrtx-1 ight)=frac3sqrtx+2sqrtx-1$
2) với $xge 0;x e 1$ ta có:
Để p = $-frac12$ thì $frac3sqrtx+2sqrtx-1=-frac12$
$eginalign và Leftrightarrow frac6sqrtx+4+left( sqrtx-1 ight)2left( sqrtx-1 ight)=0 \ và Leftrightarrow frac7sqrtx+32left( sqrtx-1 ight)=0 \ endalign$
$Leftrightarrow 7sqrtx+3=0$ (không có giá trị như thế nào của $x$ thỏa mãn)
Vậy không có giá trị như thế nào của $x$ để p = $-frac12$
Bài 9: Cho phường = $frac1x^2-sqrtx:fracsqrtx+1xsqrtx+x+sqrtx$ với $x>0;x e 1$.
1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm những giá trị của $x$ thế nào cho 3P = $1+x$
(Đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 môn Toán, tỉnh phái mạnh Định năm học tập 2017 – 2018)
Bài giải:
1) với $x>0;x e 1$ ta có:
P = $frac1x^2-sqrtx:fracsqrtx+1xsqrtx+x+sqrtx=frac1sqrtxleft< left( sqrtx ight)^3-1 ight>:fracsqrtx+1sqrtxleft( x+sqrtx+1 ight)$
$=frac1sqrtxleft( sqrtx-1 ight)left( x+sqrtx+1 ight).fracsqrtxleft( x+sqrtx+1 ight)sqrtx+1=frac1left( sqrtx-1 ight)left( sqrtx+1 ight)=frac1x-1$
Vậy p. = $frac1x-1$
2) cùng với $x>0;x e 1$ ta có:
Để 3P = $1+x$ thì $3.frac1x-1=1+x$
$eginarray*35l ext !!~!! ext và Leftrightarrow 3=left( x-1 ight)left( x+1 ight) \ ext !!~!! ext & Leftrightarrow 3=x^2-1 \ & Leftrightarrow x^2=4 \ & \endarray$
$Leftrightarrow left< eginarray*35l ext !!~!! ext & x=2(TM) \ ext !!~!! ext và x=-2(KTM) \endarray ight.$
Vậy nhằm 3P = $1+x$ thì $x=2$
Bài 10: 1) cho biểu thức A = $frac2sqrtx+1sqrtx+2$ (với $xge 0$). Tính cực hiếm của A lúc $x=9$.
Xem thêm: Cách Khắc Phục Reallocated Sector Count Là Gì, Reallocated Sector Count Là Gì
2) mang lại biểu thức B = $left( fracx+14sqrtx-5x-25+fracsqrtxsqrtx+5 ight):fracsqrtx+2sqrtx-5$ với $xge 0$ và $x e 25$ .
a) Rút gọn gàng B.b) tra cứu $x$ nhằm $B^2(Đề thi demo vào 10 môn Toán, ngôi trường THCS và THPT Lương gắng Vinh năm học tập 2019 – 2020)
Bài giải:
1) nỗ lực $x=9$ (thỏa mãn điều kiện khẳng định của A) ta có:
A = $frac2sqrt9+1sqrt9+2=frac75$
Vậy cùng với $x=9$ thì cực hiếm của biểu thức A là: $frac75$
2) cùng với $xge 0$ với $x e 25$ ta có:
a) B = $left( fracx+14sqrtx-5x-25+fracsqrtxsqrtx+5 ight):fracsqrtx+2sqrtx-5=left( fracx+14sqrtx-5left( sqrtx+5 ight)left( sqrtx-5 ight)+fracsqrtxsqrtx+5 ight):fracsqrtx+2sqrtx-5$$eginalign và =fracx+14sqrtx-5+sqrtxleft( sqrtx-5 ight)left( sqrtx+5 ight)left( sqrtx-5 ight).fracsqrtx-5sqrtx+2 \ & =frac2x+9sqrtx-5left( sqrtx-5 ight)left( sqrtx+5 ight).fracsqrtx-5sqrtx+2=fracleft( 2sqrtx-1 ight)left( sqrtx+5 ight)left( sqrtx-5 ight)left( sqrtx+5 ight).fracsqrtx-5sqrtx+2 \ và =frac2sqrtx-1sqrtx+2 \ endalign$
Vậy B = $frac2sqrtx-1sqrtx+2$
b) Để $B^2$eginalign & Leftrightarrow Bleft( B-1 ight)
Suy ra: $0hóa học tập Toán lớp 9 tại link:
Toán lớp 9: vina-1-on-va-luyen-toan-9-c14781.html
Khóa học Ôn thi vào 10 tại link:
Ôn thi vào 10: khoa-hoc-luyen-thi-vao-lop-10-mon-toan-dat-diem-cao-c12902.html
Tác giả: lostvulgaros.com
********************************
Hỗ trợ học tập tập:
_Kênh Youtube:http://bit.ly/lostvulgaros.comvn_tieuhoc
_Hội học viên lostvulgaros.com Online:https://www.facebook.com/groups/online.lostvulgaros.com/