Các em đã làm quen biện pháp giải phương trình mũ, bất phương trình mũ cũng như cách giải phương trình logarit và bất phương trình logarit ở những bài học tập trước đây.
Bạn đang xem: Hệ phương trình mũ và logarit
Trong nội dung nội dung bài viết này, chúng ta sẽ giải một vài bài tập về hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit tự cơ bản đến nâng cao.
Để giải được hệ phương trình xuất xắc bất phương trình mũ và logarit chúng ta cần kết hợp các cách thức giải phương trình mũ với logarit với phương pháp giải hệ phương trình - bất phương trình đại số (chúng ta thường xuyên sử dụng phương thức cộng hoặc cách thức thế).
Các em có thể tham khảo bài viết về phương pháp giải phương trình cùng bất phương trình mũ cũng giống như cách giải phương trình và bất phương trình logarit đã được viết bên trên lostvulgaros.com.
I. Giải bài tập hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit
* bài tập 1: Giải hệ phương trình mũ và logarit sau:
* Lời giải:
- Điều kiện: x>0, y>0 hệ tương đương:
- bởi y>0, buộc phải từ pt bên dưới của hệ ta được x = 10/y nuốm vào pt bên trên của hệ ta được:
- Đặt x4 = t>0 ta được:
Giải phương trình này được: t = 16 (nhận) hoặc t = 625 (nhận).
• TH1: t = 16 ⇒ x4 = 16 ⇒ x = 2 ⇒ y = 5;
• TH2: t = 625 ⇒ x4 = 625 ⇒ x = 5 ⇒ y = 2;
Vậy hệ phương trình bao gồm 2 cặp nghiệm của x với y là: (2;5) và (5;2)
* dấn xét: Ta thấy hệ phương trình bên trên là hệ đối xứng, tức là vị trí x và y hoàn toàn có thể đổi chỗ cho nhau nhưng không có tác dụng hệ phương trình núm đổi. Như vậy, với hệ phương trình đối xứng nếu gồm nghiệm sẽ sở hữu được 2 cặp nghiệm của x và y.
- Điều kiện: x>0, y>0. Hệ tương đương:
- lấy phương trình nghỉ ngơi trên trừ pt ở dưới của hệ ta được:
Vậy nghiệm của hệ bên trên là:
- Điều khiếu nại x>0, y>0.
- nếu như m = 1 thì y = x suy ra hệ gồm vô số nghiệm thỏa đk x>0.
- ví như m ≠ 1 cùng m > 0 ta có:
- vì chưng đó: mlnx = lny (*)
- phương diện khác: y = mx ⇒ lny = lnm + lnx (**)
- trường đoản cú (*) với (**) ta có:
Vậy hệ gồm nghiệm là:
⇒ Kết luận: nếu như m = 1 thì hệ bao gồm vô số nghiệm (x;y) = (a;a) với a>0.
Nếu m > 0 và m ≠ 1 hệ bao gồm cặp nghiệm
* bài xích tập 2: Giải hệ phương trình mũ và logarit sau:
* Lời giải:
- Điều kiện: x,y>0
log2x = 1 + log2y ⇔ log2x = log22 + log2y ⇔ x = 2y.
(x + y)x = (x - y)y ⇔ (3y)2y = yy ⇔ (9y2)y = yy
⇔ 9y2 = y ⇔ y(9y - 1) = 0 ⇔ y = 0 (loại) hoặc y = 1/9 (nhận).
Với y = 1/9 suy ra x = 2/9.
Vậy hệ tất cả nghiệm là: x = 2/9; y = 1/9.
- Ta có x.y = 3 ⇒ x,y cùng dấu (cùng âm hoặc thuộc dương).
- Điều khiếu nại x + y > 0 cùng x - y > 0 ⇒ x > 0 ⇒ y > 0.
Do đó, vận dụng BĐT Cauchy ta có:
Nên
> dấn xét: Ở câu b) ta dùng phương pháp đánh giá đựng dẫn đến kết luận hệ vô nghiệm.
Xem thêm: Giải Bài Tập Vật Lí 9 Bài 1, Giải Bài Tập Vật Lý 9 Trang 4, 5
* bài xích tập 3: Giải hệ phương trình mũ cùng logarit sau:
* Lời giải:
- Ta có:
- vậy vào pt dưới: log2(x + y) - log3(x - y) = 1, ta được:
Vậy hệ có nghiệm x = 3/2; y = 1/2
- Điều kiện: x,y>0
- ví như x > y thì suy ra
Do kia hệ có nghiệm khi:
- Ta có:
hệ có nghiệm khi:
> nhận xét: Trong bài này vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho một phương trình cua hệ, tiếp đến kết phù hợp với hệ còn lại để lấy ra tóm lại nghiệm.