Ở bài viết này lostvulgaros.com sẽ nhờ cất hộ đến bạn kiến thức triết lý quy hấp thụ toán học là gì, công việc chứng minh một câu hỏi bằng phương pháp quy nạp. Tiếp nối sẽ mang lại luyện tậpbài tập phương thức quy nạp toán học, vàbài tập cách thức quy hấp thụ toán học tập nâng cao.
A. LÝ THUYẾT
1) Khái niệm
Phương pháp minh chứng toán học sử dụng để minh chứng một mệnh đề về bất cứ tập hòa hợp nào được bố trí theo sản phẩm công nghệ tự được thì được call là phương thức quy hấp thụ toán học.
2) các bước chứng minh cách thức quy nạp toán học
Để bao gồm thể chứng minh một mệnh đề đúng với mọi(n in N^*)bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện công việc sau:
- cách 1: khám nghiệm với(n = 1), mệnh đề tất cả đúng không
- bước 2: đưa thiết quy nạp:
Ta trả sử mệnh đề đúng với(n = k geq 1)
- bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với(n = k + 1)
♦ lưu lại ý: Với ngôi trường hợp minh chứng một mệnh đề đúng với mọi số từ nhiên(n geq p)(p là một số trong những tự nhiên) thì thuật toán sẽ biến đổi như sau:
- cách 1: bình chọn mệnh đề đúng với(n = p)
- bước 2: mang thiếtquy nạp
Giả sử mệnh đề đúng với(n = k geq 1)
- bước 3: Cần minh chứng mệnh đề đúng với(n = k + 1)
B. BÀI TẬP
Sau đây là một số dạng bài tậpphương pháp quy nạp toán học liên tiếp gặp:
1) Dạng 1: chứng tỏ đẳng thức - bất dẳng thức
CMR: Với(n in N^*)thì(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2)
- Kí hiệu đẳng thức(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2)là (1)
- cách 1: soát sổ mệnh đề (1) bao gồm đúng với(n = 1)không
(n = 1)thì mệnh đề (1) trở thành(1 = 1^2 = 1)(đúng)
- bước 2: trả thiết quy nạp
Giả sử mệnh đề (1) đúng khi(n = k geq 1)
(S_k = 1 + 3 + 5 + (2k - 1) = k^2)
- cách 3: Cần chứng tỏ mệnh đề (1) đúng với(n = k + 1)
(S_k+1 = S_k + left < 2(k+1)-1 ight >= k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2)
Ta thấy, (1) đúng với mọi(n in N*)
2) Dạng 2: việc chia hết
Chứng minh rằng với(n in N^*)thì(n^3 - n)chia hết đến 3
Hướng dẫn giải:
- Đặt(A_n = n^3 - n)
- khám nghiệm với(n = 1)thì(A_1 = 0vdots 3)(đúng)
- mang thiết quy nạp:
Giả sử mệnh đề(A_n)đúng với(n = k+1), ta đi chứng tỏ mệnh đề:
(A_ k+1 = (k+1)^3 - (k+1)vdots 3)
Thật vậy:(A _ k+1 = (k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = (k^3 - k) + 3(k^2 + k) = A_k + 3(k^2+ k)vdots 3)
Vậy(n^3 - n vdots 3 forall nin N^*)
2) rèn luyện bài tập phương thức quy hấp thụ toán học nâng cao
Câu 1: Với(n in N^*)hãy minh chứng đẳng thức cùng bất đẳng thứcsau:
1)((1 -dfrac 14) (1 -dfrac 19) (1 -dfrac 116) ...(1 -dfrac 1(n+1)^2) = dfrac n+22(n+1))
2)(1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)= dfrac n(n+1)(n+2)3)
3)(2^2 + 4^2 + 6^2 + ...
Bạn đang xem: Bài tập phương pháp quy nạp toán học nâng cao
Xem thêm: Giải Bài Tập Toán 12 Sgk Nâng Cao 12, Giải Bài Tập Giải Tích 12 Nâng Cao
+ (2n)^2 = dfrac 2n(n+1)(2n+1)3)
4)(3^n-1>n(n+2) forall ngeq 5)
5)(sin^2nalpha + cos^2nleq 1forall ngeq 1)
Câu 2: với cái giá trị như thế nào của số nguyên dương(n), thì ta có:
a)(2^n+1 > n^2 + 3n)
b)(2^n > 2n +1)
c)(2^n > n^2 + 4n + 5)
Câu 3: cho những dãy((u_n)), hãy xác minh công thức tổng quát(u_n)
a)(left{eginmatrixu_1 = 1 & \ u_n+1= u_n + 5 (ngeq 1) & endmatrix ight.)
b)(left{eginmatrixu_1 = 1 và \ u_n+1= dfrac u_nu_n + 1 (ngeq 1) và endmatrix ight.)
c)(left{eginmatrixu_1 = 1 và \ u_n+1= u_n + 5 (ngeq 1) và endmatrix ight.)
Gợi ý đáp số:
a)(u_n = 5n - 4)
b)(u_n = dfrac 1n)
c)(u_n = (n+2).2^n-1)
Trên đó là những kiến thức và kỹ năng mà lostvulgaros.com đang tổng hợp được về cách thức quy nạp, mong muốn rằng nội dung bài viết sẽ góp ích được nhiều cho quá trình học tập của bạn. Chúc chúng ta học tập giỏi